Equipe integrante: Érico Goulart de Oliveira Costa¹; José Eloy Ottoni²; Wanderson Costa e Silva³; Gabriel Volino⁴; Meison David Leite da Rocha⁵; Emanuel Monção⁵'.

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¹Professor do Departamento de Física e Matemática da Universidade Federal de São João Del-Rei (UFSJ), Ouro Branco (MG), Brasil.

²Professor do Departamento de Física e Matemática da Universidade Federal de São João Del-Rei (UFSJ), Ouro Branco (MG), Brasil.

³Pós-Doutorando no Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada- IMPA- , Rio de Janeiro (RJ).

⁴Gabriel Volino aluno do curso de Mestrado em Física na Universidade Federal de São João Del-Rei (UFSJ), Ouro Branco (MG), Brasil.

⁵Meison David Leite da Rocha aluno de graduação em Engenharia Civil na Universidade Federal de São João Del-Rei (UFSJ), Ouro Branco (MG), Brasil.

⁵'Emanuel Monção aluno de graduação em Engenharia Mecatrônica na Universidade Federal de São João Del-Rei (UFSJ), Ouro Branco (MG), Brasil.

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Endereço para correspondência: legoulart@ufsj.edu.br.

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A topologia é o ramo da matemática onde se estuda as qualidades pré-geométricas dos objetos. Em um certo sentido, é como se tratássemos os objetos como sendo feitos de um material elástico perfeito, sujeitos a todo tipo de deformações contínuas, isso é, sem rupturas e colagens, e procurássemos por aquelas características e grandezas que permanecem imutáveis sob tais transformações. Para um topólogo, a superfície de um cubo e a superfície de uma esfera, por exemplo, são objetos rigorosamente equivalentes, apesar de distintos geometricamente. Já a superfície dessa mesma esfera (ou do cubo) são topologicamente distintos de um toro (a superfície de uma rosquinha), pois não é possível transformar um desses objetos no outro sem rasgarmos e/ou colarmos essas superfícies. A grandeza topológica que os distingue, nesse caso, é o chamado gênero da superfície – é o número de buracos dessa superfície. A superfície da esfera (e do cubo) tem gênero zero, ou seja, nenhum buraco, já o toro tem gênero um, pois tem um buraco. A chamada teoria dos nós é uma área específica da topologia onde uma parte importante dos esforços é a caracterização dos invariantes topológicos de objetos unidimensionais chamados nós e links. Os nós são curvas fechadas no espaço que não se autointersectam, e os links; conjuntos de nós que podem estar “linkados”, isto é, entrelaçados ou emaranhados. Uma circunferência, por exemplo, é topologicamente distinta de uma curva fechada onde teria sido realizado um nó simples, antes de ter as pontas atadas. Duas circunferências podem estar ou não passando por dentro uma da outra, e constituem exemplos de situações que configuram links diferentes [4].

 

Há muito tempo a teoria dos nós desperta o interesse dos matemáticos, sendo o primeiro deles C.F. Gauss, o célebre matemático alemão do século XIX conhecido como o príncipe dos matemáticos. Ainda naquele século, o físico britânico Lorde Kelvin imaginava os átomos como algum tipo de vórtice em formas de nós, formado pelo fluxo de um fluido que se pensava, naquela época, como permeando todo o espaço; o éter. No entanto, com a advento da física moderna esse modelo atômico foi abandonado. A teoria da relatividade de Einstein descartou a existência do éter e a natureza do átomo foi ricamente descrita pela física quântica.

 

Um ramo bastante importante da topologia é a teoria das folheações [1], que surgiu nos trabalhos de Paul Painlevé, matemático e político francês do século XIX.  Grosseiramente falando, uma folheação de um espaço é uma decomposição do mesmo em subconjuntos disjuntos, que se acumulam como se fossem folhas de um livro, ou um feixe de curvas preenchendo todo o espaço (as “folhas” seriam as curvas). 

           

Também no século XIX, desenvolve-se, com a contribuição de inúmeros grandes físicos e matemáticos da época, a teoria do eletromagnetismo de Maxwell, que descreve de maneira incrivelmente precisa os fenômenos elétricos e magnéticos. Um desses grandes físicos é o inglês Michael Faraday, que enriqueceu a descrição desses fenômenos com a introdução do conceito de linhas de campo. As linhas de campo elétrico ou magnético são curvas matemáticas no espaço tais que os campos elétricos ou magnéticos são sempre tangentes a elas, respectivamente. A forma e geometria dessas linhas são bem conhecidas em uma variedade de situações, como a solução do campo magnético gerado por uma corrente elétrica constante passando por um fio condutor reto infinito – a configuração das linhas de campo magnéticas assim gerada é formada por um feixe de círculos concêntricos em torno do fio todo, preenchendo completamente o espaço (a menos de um eixo, o próprio fio) – um exemplo simples de folheação trivial do espaço por círculos.

           

Por décadas os físicos procuraram por soluções do eletromagnetismo de Maxwell onde a configuração dessas linhas se daria de forma topologicamente não trivial. Seria possível que essas linhas descrevessem nós? Que elas pudessem se enrolar umas nas outras se emaranhando de maneiras complexas? No início dos anos 90, um pesquisador espanhol chamado Antonio Rañada [3,4] construiu um modelo matemático que permitia mostrar que é perfeitamente possível e consistente termos soluções das equações de Maxwell no vácuo com uma topologia não trivial. A solução de Rañada descrevia linhas de campo elétrico e magnético formando círculos preenchendo todo o espaço (a menos de um eixo também), todos eles passando por dentro de cada um dos outros uma única vez, isto é linkados.  O nosso trabalho tem sido entender estas soluções não triviais do ponto de vista da teoria de folheações. No trabalho que realizamos recentemente conseguimos reobter alguns dos principais resultados do Rañada de uma maneira completamente diferente e elegante, reinterpretando as linhas de campo como intersecções de objetos geométricos mais elementares, as folhas elétricas e magnéticas, que seriam objetos com características físicas relativísticas e existiriam no espaço-tempo, e portanto, de importância primordial.

 

Apesar do trabalho de Ranãda tomar como fio matemático condutor a chamada fibração de Hopf [5] da esfera tridimensional, acreditamos que com a teoria que estamos desenvolvendo podemos estender o resultado a uma classe de fibrações muito mais ampla. Dentre elas cabe destacar as fibrações de Seifert [5]. As soluções nesses casos apresentam características topológicas muito mais ricas para as linhas de campo elétricas e magnéticas, e esperamos poder entender melhor a relação dessas características matemáticas dos campos com a conservação de certas grandezas físicas importantes, como a chamada helicidade do campo eletromagnético.

 

 

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                                                                            A solução de Rañada

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Resultados experimentais recentes têm reproduzido esses tipos de campos eletromagnéticos em laboratórios de física de altas energias, como reatores de fusão nuclear, e também em experimentos de óptica [6], e espera-se, por exemplo, que com isso possamos jogar luz na compreensão de alguns fenômenos astrofísicos ainda pouco entendidos, como as chamadas reconexões magnéticas no plasma solar, ou no controle da estabilidade do plasma em reatores de fusão, como os Tokamaks e Stellarators, ambas possibilidades de profundas implicações em termos de impacto tecnológico e ambiental.

 

Palavras-chave: eletromagnetismo, folheações, fibrações, formas diferenciais, teoria dos nós.

 

Páginas/ publicações:  On spacetime foliations and electromagnetic knots, disponível em https://arxiv.org/abs/1809.09259 .

 

Referências:

[1] C. Camacho and A. Lins Neto. “Geometric theory of foliations”; Birkhauser (1985)

[2] A. F. Rañada. “Knotted solutions of the Maxwell equations in vacuum”; J. Phys. A: Math. Gen., (23), L815-L820 (1990)

[3]A. F. Rañada. “A topological Theory of electromagnetic Field”; Letters in Mathematical Physics (18) 524, 97-106 (1989)

[4] D. Rolfsen. “Knots and Links’; Publish or Perish, Berkeley, California (1976)

[5] P. Scott. “The Geometry of 3-manifolds”; Bull. London Math. Soc., 15, 401-487 (1983)

[6] T. Sunn Pedersen, M. Otte, S. Lazerson, P. Helander and S. Bozhenkov, C. Bieder- mann, T. Klinger, R.C. Wolf, H.-S. Bosch and The Wendelstein 7-X Team. “Confirmation of the topology of the Wendelstein 7-X magnetic field to better than 1:100,000”; Nature Communications, Vol.7, 13493, 1-8 (2016)

 

 

 

 

 

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